Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

7 класс

1.       Докажите, что разность  делится на 10 без остатка.

2.       В забеге на 110 м с барьерами жираф опережает носорога на 10 м, а носорог опережает бегемота на 11 м. На какое расстояние в забеге на той же дистанции жираф опередит бегемота.

3.       Как разрезать квадрат 4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять не использованные части, а также накладывать их друг на друга.

4.       100 спичек разложили в 13 коробков и на каждом коробке написали количество спичек в этом коробке. Двоечник Евграф перемножил все эти числа и получил 3248161. Докажите, что он ошибся.

5.       По контракту Гансу причиталось по 48 телеров за каждый отработанный день, а за каждый прогул с него взыскалось 12 телеров. Через 30 дней Ганс узнал, что ему ничего не причетается, и он ничего не должен. Сколько дней он работал и сколько прогулял?

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

8 класс

1.       Найдите натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом, при умножении на 3 – кубом, а при умножении на 5 – пятой степенью натурального числа.  (Ответ можно записать в виде произведения).

2.       Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить ее в два раза быстрее первого; первый и третий могут вместе выполнить ее в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить эту работу быстрее, чем третий?

3.       Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить треугольник со сторонами разной длины и без прямых углов.

4.       Решите неравенство: .

5.       Жрецы бога Инварианта изъясняются на особом языке, алфавит которого состоит из букв: “M”  и “A”. От следующих восьми замен буквосочетаний смысл любого слова не меняется:

Является ли в этом языке синонимами слова

 

 

 

 

 

 

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

9 класс

1.       Укажите наибольшее отрицательное целое число из области определения функции .

2.       Решите уравнения

3.       На доске написаны числа 1,2,…,20. Разрешается стереть любые два числа x и y, записав на доску число x+3y. В конце концов на доске останется только одно число. Может ли оно оказаться равным 401?

4.       Два равнобедренных прямоугольных треугольника приложены к друг другу так, как показано на рисунке. Докажите, что середины сторон четырехугольника ABCD являются вершинами квадрата.                                                                                                       

                                                                                                                                                            B

                                                                                                                                                                              C

                                                                                                                                            A                                               D

 

5.       Из трех различных (ненулевых) цифр составили всевозможные двузначные числа. Их сумма равна 154. Какие цифры были взяты?

 

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009        учебный год

10 класс

1.          Прямая, пересекающая ось ординат в точке (0;-2), касается параболы у = х2-Зх + 2 в точке, расположенной во второй координатной четверти. Найдите координаты точки касания.

2.       Может ли число, десятичная запись которого состоит из 100 нулей, 100 единиц
и 100 двоек, быть точным квадратом?

3.       Шестиугольник АВСDЕF вписан в окружность. Докажите, что если стороны АВ и
СО, АF и DС параллельны, то параллельны и стороны ВС и ЕF.

4.       Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

5.        В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле е2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

11 класс

1.       Решите систему уравнений:

2.       Дан многочлен , который делится на . Докажите, что он делится на

3.       Четыре окружности размещены на плоскости так, что каждая касается внешним образом  двух других. Докажите, что точки касания размещены на одной окружности.

4.       Найдите наибольшее значение функции .

5.       Внутри единичного квадрата расположена 51 точка. Докажите, что среди них найдутся три, умещающиеся в круге с радиусом 1/7.

 

 

 

 

Внимание – каждое задание олимпиады 7-11 классов – 7 баллов.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

Ответы и решения:7 класс.

1.       Указание: Найдите последние цифры каждого из двух данных чисел.

2.       Ответ: на 20 м.

Решение: Жираф бежит в 11/10 раза быстрее носорога, а носорог – в 10/9 раза быстрее бегемота. Поэтому скорость жирафа в 11/9 раза больше скорости бегемота. Пока жираф бежит 110 м, бегемот бежит 90 м (и отстанет на 20 м).

3.       Решение: сначала квадрат  разрезаем на 16 квадратов, затем каждый из полученных квадратов разрезаем по диагоналям на 4 треугольника, из которых, прикладывая большие стороны двух треугольников друг к другу, можно получить по 2 квадрата. (см. рис.)

 

                                                                                                                                  

                                                                                       1                                                                   1                  

4.       Доказательство: Если бы он был прав, это означала бы, что все перемноженные числа были нечетными, однако, сумма 13 нечетных чисел не может равняться 100.

5.       Ответ: Ганс работал 6 дней.

Решение: Отработанных за месяц дней оказалось в 4 раза меньше, чем прогулов. Всего 5 частей. В каждой части – по 6 дней.

 

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

Ответы и решения:8 класс.

1.       Одно из таких чисел:

2.       Ответ: в 7/5 раза.

Решение:

Первый способ заключается в нахождении k из системы уравнений  (x,y,z, -производительности рабочих).

Второй способ: Из первого условия ясно, что производительность первого рабочего составляет треть от общей производительности рабочих. Аналогично, производительность второго – четверть от общей. Совместная производительность первого и второго рабочих равна 7/12 от общей, значит, производительность третьего рабочего составляет 1-7/12=5/12 от общей. А это значит, что два первых работают в 7/5 раза быстрее, чем третий в одиночку.

3.       Точка E выбрана так, что AE<EB, точка H – так, что EH параллельна AD и EH=2AD. Треугольники ADG и GFH, BCI и IFH попарно равны. От квадрата отрезаем треугольники BCI и ADG. Тогда можно составить треугольник BHA. Очевидно, что AB<AH и AB<BH. Кроме того,

                

 

 

 

 

                  B                                       C

                                                                                  I

                                  E                                      F

                                                                           G                                                   H

                     A

4.       Ответ: нет решений.

Решение: 0, выделяем полные квадраты:

+ В левой части полученного неравенства стоит положительное число. Быть отрицательным оно не может.

5.       Ответ: нет.

Решение: От каждой из этих замен количество букв M либо меняется, либо изменяется на 2 (в большую или в меньшую сторону). Изменится в итоге нескольких вышеуказанных замен на 1 оно не может. Вывод: слова MAA и AMM – разные по смыслу.

 

 

 

 

 

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

Ответы и решения:9 класс.

1.       Ответ: -11.

Решение:  .

2.       Ответ: 1; 4 + .

Решение:

1.      

.

2.      

.

Пусть y=, тогда  у2 -2у-2 = 0.

.

 не удовлетворяет условию .

, тогда x=4 +

3.       Ответ: нет.

Решение: После каждой указанной операции сумма всех оставшихся на доске чисел увеличивается на 2у, т.е. на четную величину. Вначале сумма всех чисел равна 1 + 2 +... + 20 = 210 (четна). Прибавляя к ней четные числа, получить нечетное число 401 не удастся.

4.       Решение:   Обозначим К, L, М, N -середины сторон четырехугольника АВСD. Отрезки КN и LМ являются средними линиями треугольников ВАD и ВСD соответственно и равны половине ВО. Продолжим отрезок ОС за

точку С до пересечения с отрезком АВ в точке Е. Легко заметить, что ВР и DЕ -высоты треугольника ВАD, следовательно, АС и ВD перпендикулярны Кроме того, отрезки КL и МN средние линии треугольников АВС и АDС и равны половине   АС. Получаем, что четырехугольник KLMN - прямоугольник. Прямоугольные треугольники АРС и ВРD равны по двум катетам, следовательно, равны их гипотенузы А С и ВD, а КLМN- квадрат.

 

 

5.       Ответ: 1,2,4.

Решение:

Пусть a,b,c – искомые цифры, тогда

 

 

 

 

 

 

 

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

Ответы и решения: 10 класс

1.   Ответ: (-2,12)

Решение: Касательная, проходящая через точку (0;-2), будет иметь уравнение у = kx - 2 . Уравнение

х2 -Зх + 2 = kx-2 должно иметь одно решение. У квадратного уравнения                           х2 - (k + 3)х + 4 = 0 дискриминант равен нулю: (k + З)2 - 16 =0, откуда k = 1 или 1с = -7 . Т.к. точка касания лежит во второй координатной четверти, то k = -7 (уравнение касательной: у = -7х-2).  

2.  Ответ: нет.

Решение: Сумма цифр такого числа равна 300. Но точный квадрат не может делиться на 3 и при этом не делиться на 9.


3.  Доказательство:

Если продолжить отрезки АВ и ОС, АР и DЕ до его пересечения, то получится параллелограмм. Его  противоположные углы ВАF и СDЕ равны. Поэтому дуги СВАFЕ и ВСDЕF равны, а значит, равны и дуги СDЕ и ВАF. Следовательно, . Последнее равенство дает искомую параллельность.

 

 

4.         Ответ: 20.

Решение: Обозначим: х - количество лоскутков белого цвета, у - черного. Получим х + у = 32. Теперь подсчитаем число швов, соединяющих белые и черные лоскутки, двумя способами. Первый способ: вокруг каждого черного лоскута есть 5 швов, соединяющих его с белыми, значит всего таких швов 5у . Второй способ: вокруг каждого белого три таких шва, значит всего таких швов Зх . При обоих способах учтен каждый шов по одному разу. Значит, Зх=5у . Откуда:   .

5.     Ответ: 4.

Решение: Рассмотрим наибольшее число, стоящее в одной из клеток. Очевидно, что все соседние с ним числа равны ему. Соседние с ними также равны им, и т.д. Следовательно, все числа на доске равны. Отсюда получаем, что на поле е2 написано число 4.

 

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике.

2008-2009 учебный год

Ответы и решения: 11 класс

1.       Ответ:  Решение: По свойству корня:

.

Решим первую систему:

:

2.       Указание: Рассмотрите значение многочлена при x=-1. Далее: теорема Безу.

3.       Доказательство: Центры окружностей A, B, C и D дают описанный четырехугольник ABCD. Обозначим точки касания окружностей K,L,M,N – они лежат на отрезках AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда .

Аналогично, получаем  равна полусумме углов четырехугольника ABCD, т.е. , следовательно, четырехугольник KLMN – вписанный.

4.       Ответ: наиб. .

Решение: Область определения функции  - отрезок

.

 

5.       Разобъем квадрат на 25 квадратиков с длиной стороны 1/5. По принципу Дирихле, в один из квадратиков попадут по крайней мере три точки. Поскольку такой квадратик можно накрыть кругом радиуса 1/7, доказательство завершено.