Международная математическая олимпиада 2012. Задачи. - 10 Июля 2012

ЕФМШ (ШМЕл)

Воскресенье, 22 Дек 2024, 04:51:00

Главная Регистрация RSS

Приветствую Вас, пришелец

фото дня

[ЕФМШ 2016]

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Поиск

теги

Денис последний звонок Дубина Андрей интернетолимпиада результаты третье тысячелетие Термальный рейтинг протокол Сегодин Головинский Гаврилов Черешко Щипицын цветы районная олимпиада физика биология химия турнир районная победители зимняя всероссийская олимпиада Ненашев Лисова Пятко Олимпиада математика Сергей Николаевич Новиков ЕФМШ Маркевич Обухов Ефимов Панькова поступление МФТИ Камчатка Елизово вулкан Авачинский Корякский природа финал Иван биатлон Богославский мемориал Фатьянова Москва Санкт-Петербург выпускники ЕГЭ 8 школа Владимир Нестерович награждение ВУЗ Баклагин школа математическое многоборье Барабаш Некрасов фото призёры краевая олимпиада МГУ скульптура 2011 Насирова Цапыгин спорт 2012 9 мая муниципальная Миклашевская Соревнования Хорошман великий новгород Кремль первенство района Преображенский смоленск 2014 всероссийская Испания фауна Барселона spain Белгород открытие легкая атлетика Харьков Украина Днепр Цапля ленинград петродворец Хорватия птица

календарь

Главная » » Международная математическая олимпиада 2012. Задачи.

07:59:57

Международная математическая олимпиада 2012. Задачи.

1	Given triangle $ABC$ the point $J$ is the centre of the excircle opposite the vertex $A.$ This excircle is tangent to the side $BC$ at $M$ , and to the lines $AB$ and $AC$ at $K$ and $L$ , respectively. The lines $LM$ and $BJ$ meet at $F$ , and the lines $KM$ and $CJ$ meet at $G.$ Let $S$ be the point of intersection of the lines $AF$ and $BC$ , and let $T$ be the point of intersection of the lines $AG$ and $BC.$ Prove that $M$ is the midpoint of $ST.$ (The excircle of $ABC$ opposite the vertex $A$ is the circle that is tangent to the line segment $BC$ , to the ray $AB$ beyond $B$ , and to the ray $AC$ beyond $C$ .)

2	It seems that this problem appeared as Problem 2. (there can be some mistake in this post) If positive reals $a_{2},a_{3},\dots,a_{n}$ satisfy $a_{2}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}=1$ prove that $\left(a_{2}+1\right)^{2}\left(a_{3}+1\right)^{3}\dots\left(a_{n}+1\right)^{n}>n^{n}$

3	The liar's guessing game is a game played between two players $A$ and $B$ . The rules of the game depend on two positive integers $k$ and $n$ which are known to both players. At the start of the game $A$ chooses integers $x$ and $N$ with $1 \le x \le N.$ Player $A$ keeps $x$ secret, and truthfully tells $N$ to player $B$ . Player $B$ now tries to obtain information about $x$ by asking player $A$ questions as follows: each question consists of $B$ specifying an arbitrary set $S$ of positive integers (possibly one specified in some previuos question), and asking $A$ whether $x$ belongs to $S$ . Player $B$ may ask as many questions as he wishes. After each question, player $A$ must immediately answer it with yes or no, but is allowed to lie as many times as she wants; the only restriction is that, among any $k+1$ consecutive answers, at least one answer must be truthful. After B has asked as many questions as he wants, he must specify a set $X$ of at most $n$ positive integers. If $x$ belongs to $X$ , then $B$ wins; otherwise, he loses. Prove that: 1. If $n \ge 2^k,$ then $B$ can guarantee a win. 2. For all sufficiently large $k$ , there exists an integer $n \ge (1.99)^k$ such that $B$ cannot guarantee a win.