ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

11 класс, устный тур, 17 марта 2011 г.

---

1.
В ряд выложено n монет. Два игрока по очереди выбирают монету
и пе­рево­рачи­ва­ют её. Рас­по­ложе­ние орлов и решек не должно
пов­то­рять­ся. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?





2.
На доске написаны 49 на­тураль­ных чисел. Все их попарные суммы различны.
Докажите, что наибольшее из чисел больше 600.





3.
Даны три попарно пе­ресе­ка­ющих­ся луча. В некий момент времени по каждому лучу из его начала начинает двигаться точка с постоянной скоростью.
Известно, что эти три точки в любой момент времени образуют тре­уголь­ник, причем центр описанной окружности этого тре­уголь­ни­ка тоже движется равномерно и
пря­моли­ней­но. Верно ли, что все эти тре­уголь­ни­ки подобны друг другу?





4.
Подм­но­жест­во сту­ден­ческой группы назовём идеальной компанией, если

1) в этом подм­но­жест­ве все девушки нравятся всем юношам;

2) в это подм­но­жест­во нельзя никого добавить, не нарушив условие 1.
В некой группе учатся 9 студенток и 15 студентов.
Староста группы составил список все­воз­можных идеальных компаний в этой группе.
Какое наибольшее число компаний могло оказаться в этом списке?





5.
Найдите все такие пары на­тураль­ных чисел a и b, что a¹⁰⁰⁰+1 делится на b⁶¹⁹ и b¹⁰⁰⁰+1 делится на a⁶¹⁹.





6.
На плоскости расположен центрально-сим­метрич­ный выпуклый мно­го­уголь­ник площади 1 и две его копии
(каждая получена из мно­го­уголь­ни­ка некоторым па­рал­лель­ным переносом). Известно, что никакая точка плоскости
не покрыта тремя мно­го­уголь­ни­ками сразу. Докажите, что общая площадь, покрытая мно­го­уголь­ни­ками, не меньше 2.