Заочный конкурс по математике

Весенний тур 2013 года

Дорогой друг!

Приглашаем тебя принять участие в заочном конкурсе по математике и информатике. Участвовать в нём может любой ученик 6-8 класса, решивший по крайней мере пять из предлагаемых 20 задач. Для этого он должен не позднее 20 марта выслать полные решения задач обычным письмом (не заказным) по адресу

Москва, 119002, Большой Власьевский пер., дом 11, Московский центр непрерывного математического образования, заочный конкурс, ... класс.

На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. В письмо следует вложить два пустых незаклеенных конверта с маркой, написав на них свой адрес (В одном конверте будут посланы результаты проверки и приглашение на разбор. Другой конверт может быть использован для информации о заочном конкурсе, математических кружках, олимпиадах и пр.)

На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс. В письмо следует вложить заполненную карточку участника (см. на обороте).

Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом, можно получить по телефону (495) 945-82-16 (попросить соединить с организаторами заочного конкурса), а также по электронной почте: zmk@mccme.ru. (Очень просим Вас НЕ присылать решения по электронной почте.) Информация о заочном конкурсе имеется в Internet на сайте http://www.mccme.ru/zmk/. В частности, на этом сайте будет указана дата разбора задач (скорее всего, это будет в мае), а после разбора помещён список победителей конкурса.

На сайте http://www.mccme.ru/ имеется также информация о математических кружках, олимпиадах и пр. Информацию о кружках можно получить также по телефону (499)~241-05-00.

Желаем успеха!

1. Разрежьте квадрат на три части и сложите из них неравнобедренный непрямоугольный треугольник (то есть треугольник, у которого все стороны разные и все углы отличны от 90°).

2. Укажите наименьшее целое положительное число, которое не является делителем числа 31! = 1·2·3·…·30·31.

3. Можно ли разбить число 174 на три различных целых положительных слагаемых так, чтобы сумма любых двух из них делилась нацело на третье?

4. Составьте три несократимые дроби, дающие в произведении единицу, используя в качестве числителей и знаменателей целые числа от 1 до 9 (каждое число можно использовать не более одного раза).

5. Все натуральные числа от 1 до 2013 разбиты на две группы: чётные и нечётные. В какой из групп сумма всех цифр, использованных для записи чисел, больше и на сколько?

6. Из городов А и Б одновременно направились навстречу друг другу два пешехода. После встречи первому осталось идти (до города, куда он направляется) ещё a часов, второму — b часов. Сколько часов прошло от начала движения до встречи? (Пешеходы двигались с постоянными скоростями.)

7. Можно ли так упаковать в ящик 2×2×2 три цилиндра высотой 2 и диаметром 1, чтобы ни один из них нельзя было сдвинуть с места, не смещая других?

8. Найдите последнюю цифру произведения всех нечётных трёхзначных чисел.

9. Сто разных фишек положены в ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно поменять местами. Можно ли с помощью нескольких таких операций переставить фишки в обратном порядке?

10. В круге проведено m хорд, которые пересекаются внутри круга в n точках (в каждой точке по 2 хорды). На сколько частей они делят круг?

11. Можно ли какой-то прямоугольник разрезать на три прямоугольника, подобных исходному, причём так, чтобы все три имели разные размеры? (Прямоугольники называются подобными, если у них одинаковая форма, то есть одинаковое отношение большей стороны к меньшей.)

12. Из одной заготовки можно сделать одну деталь, а из стружек от 6 заготовок можно изготовить целую заготовку. Сколько деталей можно получить из 600 заготовок?

13. Сколько существует различных шестигранных игральных костей с цифрами 1,…,6 на гранях? (Две кости считаются одинаковыми, если их можно повернуть так, чтобы числа на соответствующих гранях совпали.)

14. Дано десять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Докажите, что все числа чётны.

15. В неизвестном месте поля 10 на 10 для игры в морской бой расположен «линкор» — прямоугольник размером 4 на 1. Какое минимальное число выстрелов нужно сделать, чтобы гарантировать, что будет попадание? Куда нужно стрелять? Можно ли обойтись меньшим числом выстрелов?

16. Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли — таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли, таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы?

17. Докажите, что

(при любом количестве квадратных корней в левой части).

18. Какая средняя сумма цифр у четырёхзначного числа? (Четырёхзначные числа — от 1000 до 9999; у каждого из них вычислили сумму цифр, а потом взяли их среднее арифметическое. Напомним, что среднее арифметическое k чисел a₁,…,a_k определяется как их сумма, делённая на их количество, то есть как (a₁+…+a_k)/k.)

19. Можно ли так нарисовать внутри квадрата несколько непересекающихся круглых клякс, чтобы общая площадь, покрытая кляксами, была больше 99% от площади этого квадрата?

20. Докажите, что в любой бесконечной последовательности целых положительных чисел a₁,a₂,… найдётся пара чисел a_i и a_j, в которой i<j и число a_i можно получить из a_j вычёркиванием некоторого числа цифр в десятичной записи (возможно, ни одной: a_i=a_j тоже допускается).