|
Олимпиадные задачи.
|
|
| NSN |
Date: Воскресенье, 11 Мар 2007, 14:21:47 | Message # 1 |
 Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
Здесь будут выкладываться трудные задачи. За них будут начисляться баллы. Решившему без подсказок - 7 б, с одной подсказкой - 6 б, с двумя - 5 б, и т.д. Решения отправлять в личку.
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
Post edited by NSN - Воскресенье, 11 Мар 2007, 16:37:20 |
| |
| |
| NSN |
Date: Воскресенье, 11 Мар 2007, 20:23:34 | Message # 2 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
задача № 1 По кругу выписанны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N не меньше 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N. Добавлено (11 Мар 2007, 21:23:34)
---------------------------------------------
1-я подсказка Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!» |
| |
| |
| Dimign |
Date: Понедельник, 12 Мар 2007, 13:45:23 | Message # 3 |
 майор
Group: Модераторы
Posts: 387
Reputation: 38
Status: Offline |
А мне можно решать, а то я уже решил :)))
Кстати, имхо к первой задаче подсказка очевидная и ненужная, только стоимость задачи уменьшает...
Хочешь всего и сразу, а получаешь ничего и постепенно. :))) |
| |
| |
| NSN |
Date: Понедельник, 12 Мар 2007, 18:01:14 | Message # 4 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
| Quote (Dimign) | | А мне можно решать, а то я уже решил :))) |
Можно, можно. Шли решение.Добавлено (12 Мар 2007, 19:01:14)
---------------------------------------------
2-я подсказка А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29.
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!» |
| |
| |
| Dimign |
Date: Вторник, 13 Мар 2007, 08:25:01 | Message # 5 |
| майор
Group: Модераторы
Posts: 387
Reputation: 38
Status: Offline |
Решение задачи №1 Каждое однозначное натуральное число от 1-9 должно окружаться парой двузначных 11-19 и 21-29 итого нужно 27 чисел, но по условию задачи у нас послед. всех чисел от 1 до N => еще два числа 10 и 20 итого 29 чисел. Ну а расставить их по кругу несоставляет особого труда, например: 1.21.22.2.12.13.3.23.24.4.14.15.5.25.26.6.16.17.7.27.28.8.18.19.9.29.20.10.11...
Хочешь всего и сразу, а получаешь ничего и постепенно. :))) |
| |
| |
| Денвер |
Date: Вторник, 13 Мар 2007, 10:04:06 | Message # 6 |
 лейтенант
Group: выпускник
Posts: 77
Reputation: 16
Status: Offline |
неинтересная задача. Уж простите. И не сложная, а писанины много. |
| |
| |
| NSN |
Date: Вторник, 13 Мар 2007, 13:05:46 | Message # 7 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
| Quote (Dimign) | | Каждое однозначное натуральное число от 1-9 должно окружаться парой двузначных 11-19 и 21-29 итого нужно 27 чисел, но по условию задачи у нас послед. всех чисел от 1 до N => еще два числа 10 и 20 итого 29 чисел. Ну а расставить их по кругу несоставляет особого труда, например: 1.21.22.2.12.13.3.23.24.4.14.15.5.25.26.6.16.17.7.27.28.8.18.19.9.29.20.10.11... |
Замечательно, Dimign, 7 баллов. Добавлено (13 Мар 2007, 14:05:46)
---------------------------------------------
Задача № 2 В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
Post edited by NSN - Вторник, 13 Мар 2007, 13:08:08 |
| |
| |
| NSN |
Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:28:57 | Message # 8 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
 Добавлено (14 Мар 2007, 20:59:16)
---------------------------------------------
Подсказка 1. Обозначим угол BDA за ф. Тогда угол BAD = 180-ф (AB=AD), угол CBF=1/2 дуги FC = 1/4 дуги BC = 1/2 угла CAB = 90-ф. Добавлено (15 Мар 2007, 18:30:45)
---------------------------------------------
Подсказка № 2 Точки Е и F равноудалены от точек В и С, поэтому FE - серединный перпендикуляр к отрезку ВС. Добавлено (18 Мар 2007, 21:38:51)
---------------------------------------------
Подсказка № 3
следовательно, угол BFE = 90 - угол СВF = ф. Добавлено (19 Мар 2007, 15:28:57)
---------------------------------------------
Положение после 2-х задач:
Димигн - 7 б;
Нест - 4 б.
Attachment:
18837899.jpg
(18.2 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
Post edited by NSN - Четверг, 15 Мар 2007, 17:32:25 |
| |
| |
| NSN |
Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:33:47 | Message # 9 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Известно, что 
Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство
Attachment:
74947613.jpg
(1.9 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
Post edited by NSN - Понедельник, 19 Мар 2007, 14:46:00 |
| |
| |
| Nest |
Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:45:42 | Message # 10 |
 генерал
Group: Модераторы
Posts: 1833
Reputation: 141
Status: Offline |
Post edited by Nest - Понедельник, 19 Мар 2007, 14:46:04 |
| |
| |
| NSN |
Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:48:35 | Message # 11 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство
Attachment:
47572137.jpg
(2.7 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!» |
| |
| |
| NSN |
Date: Среда, 21 Мар 2007, 11:12:33 | Message # 12 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
Подсказка 1 Если abc = 1, то неравенства  и (a – 1)(b – 1)(c – 1)<0 равносильны.
Attachment:
02818058.jpg
(1.7 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
Post edited by NSN - Среда, 21 Мар 2007, 11:14:05 |
| |
| |
| NSN |
Date: Четверг, 22 Мар 2007, 18:47:14 | Message # 13 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
Подсказка 2  Добавлено (22 Мар 2007, 19:47:14)
---------------------------------------------
подсказка 3 Кроме того, числа t – 1 и t^k – 1 имеют при k > 0 одинаковый знак.
Attachment:
71641947.jpg
(8.2 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!» |
| |
| |
| NSN |
Date: Суббота, 14 Апр 2007, 21:01:51 | Message # 14 |
| Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline |
 Добавлено (14 Апр 2007, 22:01:51)
---------------------------------------------
Петербуржская олимпиада
Attachment:
22842698.jpg
(10.0 Kb)
Amat victoria curam! - «Победа любит старание!» |
| |
| |
| Alex |
Date: Суббота, 02 Фев 2008, 16:17:55 | Message # 15 |
| майор
Group: выпускник
Posts: 346
Reputation: 50
Status: Offline |
дайте следующую задачку.
 |
| |
| |
