ЕФМШ (ШМЕл)
Суббота, 19 Сен 2020, 10:25:03
Главная Регистрация RSS
Приветствую Вас, пришелец
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 4
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • »
Форум ЕФМШ » Мозгодром » Мозгодром » Олимпиадные задачи. (Решение задач)
Олимпиадные задачи.
NSN Date: Воскресенье, 11 Мар 2007, 14:21:47 | Message # 1
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Здесь будут выкладываться трудные задачи. За них будут начисляться баллы. Решившему без подсказок - 7 б, с одной подсказкой - 6 б, с двумя - 5 б, и т.д.

Решения отправлять в личку.


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»

Post edited by NSN - Воскресенье, 11 Мар 2007, 16:37:20
 
NSN Date: Воскресенье, 11 Мар 2007, 20:23:34 | Message # 2
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
задача № 1

По кругу выписанны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N не меньше 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N.

Добавлено (11 Мар 2007, 21:23:34)
---------------------------------------------
1-я подсказка

Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
 
Dimign Date: Понедельник, 12 Мар 2007, 13:45:23 | Message # 3
майор
Group: Модераторы
Posts: 387
Reputation: 38
Status: Offline
А мне можно решать, а то я уже решил :)))
Кстати, имхо к первой задаче подсказка очевидная и ненужная, только стоимость задачи уменьшает...


Хочешь всего и сразу, а получаешь ничего и постепенно. :)))
 
NSN Date: Понедельник, 12 Мар 2007, 18:01:14 | Message # 4
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Quote (Dimign)
А мне можно решать, а то я уже решил :)))

Можно, можно. Шли решение.

Добавлено (12 Мар 2007, 19:01:14)
---------------------------------------------
2-я подсказка

А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29.


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
 
Dimign Date: Вторник, 13 Мар 2007, 08:25:01 | Message # 5
майор
Group: Модераторы
Posts: 387
Reputation: 38
Status: Offline
Решение задачи №1

Каждое однозначное натуральное число от 1-9 должно окружаться парой двузначных 11-19 и 21-29 итого нужно 27 чисел, но по условию задачи у нас послед. всех чисел от 1 до N => еще два числа 10 и 20 итого 29 чисел. Ну а расставить их по кругу несоставляет особого труда, например: 1.21.22.2.12.13.3.23.24.4.14.15.5.25.26.6.16.17.7.27.28.8.18.19.9.29.20.10.11...


Хочешь всего и сразу, а получаешь ничего и постепенно. :)))
 
Денвер Date: Вторник, 13 Мар 2007, 10:04:06 | Message # 6
лейтенант
Group: выпускник
Posts: 77
Reputation: 16
Status: Offline
неинтересная задача. Уж простите. И не сложная, а писанины много.
 
NSN Date: Вторник, 13 Мар 2007, 13:05:46 | Message # 7
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Quote (Dimign)
Каждое однозначное натуральное число от 1-9 должно окружаться парой двузначных 11-19 и 21-29 итого нужно 27 чисел, но по условию задачи у нас послед. всех чисел от 1 до N => еще два числа 10 и 20 итого 29 чисел. Ну а расставить их по кругу несоставляет особого труда, например: 1.21.22.2.12.13.3.23.24.4.14.15.5.25.26.6.16.17.7.27.28.8.18.19.9.29.20.10.11...

Замечательно, Dimign, 7 баллов.

Добавлено (13 Мар 2007, 14:05:46)
---------------------------------------------
Задача № 2

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»

Post edited by NSN - Вторник, 13 Мар 2007, 13:08:08
 
NSN Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:28:57 | Message # 8
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline

Добавлено (14 Мар 2007, 20:59:16)
---------------------------------------------
Подсказка 1.

Обозначим угол BDA за ф. Тогда угол BAD = 180-ф (AB=AD), угол CBF=1/2 дуги FC = 1/4 дуги BC = 1/2 угла CAB = 90-ф.

Добавлено (15 Мар 2007, 18:30:45)
---------------------------------------------
Подсказка № 2

Точки Е и F равноудалены от точек В и С, поэтому FE - серединный перпендикуляр к отрезку ВС.

Добавлено (18 Мар 2007, 21:38:51)
---------------------------------------------
Подсказка № 3
следовательно, угол BFE = 90 - угол СВF = ф.

Добавлено (19 Мар 2007, 15:28:57)
---------------------------------------------
Положение после 2-х задач:
Димигн - 7 б;
Нест - 4 б.

Attachment: 18837899.jpg(18.2 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»

Post edited by NSN - Четверг, 15 Мар 2007, 17:32:25
 
NSN Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:33:47 | Message # 9
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Известно, что
Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство
Attachment: 74947613.jpg(1.9 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»

Post edited by NSN - Понедельник, 19 Мар 2007, 14:46:00
 
Nest Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:45:42 | Message # 10
генерал
Group: Модераторы
Posts: 1833
Reputation: 141
Status: Offline
surprised

Post edited by Nest - Понедельник, 19 Мар 2007, 14:46:04
 
NSN Date: Понедельник, 19 Мар 2007, 14:48:35 | Message # 11
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство
Attachment: 47572137.jpg(2.7 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
 
NSN Date: Среда, 21 Мар 2007, 11:12:33 | Message # 12
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Подсказка 1

Если abc = 1, то неравенства и (a – 1)(b – 1)(c – 1)<0 равносильны.

Attachment: 02818058.jpg(1.7 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»

Post edited by NSN - Среда, 21 Мар 2007, 11:14:05
 
NSN Date: Четверг, 22 Мар 2007, 18:47:14 | Message # 13
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline
Подсказка 2

Добавлено (22 Мар 2007, 19:47:14)
---------------------------------------------
подсказка 3

Кроме того, числа t – 1 и t^k – 1 имеют при k > 0 одинаковый знак.

Attachment: 71641947.jpg(8.2 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
 
NSN Date: Суббота, 14 Апр 2007, 21:01:51 | Message # 14
Генералиссимус
Group: Администраторы
Posts: 7128
Reputation: 65
Status: Offline

Добавлено (14 Апр 2007, 22:01:51)
---------------------------------------------
Петербуржская олимпиада

Attachment: 22842698.jpg(10.0 Kb)


Amat victoria curam! - «Победа любит старание!»
 
Alex Date: Суббота, 02 Фев 2008, 16:17:55 | Message # 15
майор
Group: выпускник
Posts: 346
Reputation: 50
Status: Offline
дайте следующую задачку.
biggrin
 
Форум ЕФМШ » Мозгодром » Мозгодром » Олимпиадные задачи. (Решение задач)
  • Страница 1 из 4
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • »
Поиск:

Находится в каталоге Апорт
html counterсчетчик посетителей сайта
Locations of visitors to this page Нравится