33 Турнир городов, осень.  Предварительные решения задач

(подготовлены Л. Медниковым и А. Шаповаловым)

Базовый вариант, младшие классы

1. На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что
AQ = AC,  BP = BC.  Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PQC, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

(В.Произволов)

Решение. Треугольник BPC – равнобедренный, поэтому биссектриса угла B совпадает с серединным перпендикуляром к стороне CP. Аналогично, биссектриса угла A совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CQ. Но центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на пересечении упомянутых биссектрис, а центр описанной окружности треугольника PQC – на пересечении упомянутых серединных перпендикуляров.

2. Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

(Д.Баранов)

Решение. Левый сосед того, кто съел меньше всех, съел вдвое больше, то есть четное число изюминок. Тогда его левый сосед тоже съел четное число изюминок. Обойдя круг, видим, что все съели по четному числу изюминок. Значит, всего съедено четное число изюминок. Но число 2011 нечетно, значит, хотя бы одна изюминка осталась.

3. Из клетчатого прямоугольника 9´9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей четные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1´1.

(П.Кожевников)

Решение. См. на рис. разрезание, где квадратиков 1×1 нет вообще.

4. В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в ее концах. Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

(Н.Авилов)

Ответ. Могут.

Решение. Пусть числа в вершинах идут в таком порядке: 1, 18, 2, 19, 3, 20, …, 16, 33, 17. Нетрудно убедиться, что суммы двух соседних будут возрастать по порядку от 19 до 50. А сумма первого и последнего равна 18.

5. По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону — телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом еще через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом еще через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

(А.Шень)

Ответ. В 10:40.

Решение 1. Посмотрим на все с точки зрения телеги. Она стоит на месте в точке T, слева из точки встречи к ней приближаются пешеход и велосипедист (точка A), а справа – машина. Пусть велосипедист встречает машину в точке X, а пешеход – в точке Y. По условию велосипедист проезжает отрезки AT и TX за одно время, поэтому T – середина AX. Машина проезжает отрезки XY и YT за одно время, поэтому Y – середина TX. Пешеход проходит AY за час, следовательно, отрезок  AT = ²/₃ AY  он проходит за 40 минут.

Решение 2. Нарисуем графики движения и отметим их точки пересечения. Пусть обгонам и встречам велосипедиста соответствуют точки A, L, C, машины – точки C, K, B, а встреча телеги с пешеходом – точке M (см. рис). По условию, L и K – соответственно середины сторон AС и BC треугольника ABC, откуда M – точка пересечения его медиан. M делит медиану AK в отношении 2:1, поэтому и проекция точки M делит временной отрезок от 10 до 11 часов в том же отношении. Значит, встреча произошла в 10.40.

Полные решения: http://efms.ucoz.ru/sol-33-os.doc