1. Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

(Д.Баранов)

Решение. Левый сосед того, кто съел меньше всех, съел вдвое больше, то есть четное число изюминок. Тогда его левый сосед тоже съел четное число изюминок. Обойдя круг, видим, что все съели по четному числу изюминок. Значит, всего съедено четное число изюминок. Но число 2011 нечетно, значит, хотя бы одна изюминка осталась.

2. В каждой клетке секретной таблицы n´n записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются n-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?

(Г.Гальперин)

Ответ. В n клетках.

Решение. Если проверено менее n клеток, то в какой-то из строк проверенных клеток нет, и там может оказаться любое число.

Пусть Петя проверил n клеток по диагонали, на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Тогда Пете достаточно предъявить число-палиндром, у которого на i-м и (n–i+1)-м местах стоит одна и та же цифра, отличающаяся от цифр в проверенных клетках i-й и (n–i+1)-й строк. Такое число будет отличаться от числа в k-й строке или столбце как раз k-й цифрой.

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны равны соответственно:  AB = 10,
BC = 14,  CD = 11,  AD = 5.  Найдите угол между его диагоналями.

(А.Толпыго)

Ответ. 90°.

Решение. Нетрудно убедиться, что  AB² + CD² = AD² + BC².  Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а угол AOB равен α. Выразив входящие в равенство квадраты сторон по  теореме  косинусов  для  треугольников  AOB,  BOC,  COD  и  DOA,  после сокращений получим:  – cosα(OA×OB + OC×OD) = cosα(OA×OD + OC×OB),  что возможно только при  cos α = 0.

Замечание. Точно так же доказывается более общий факт: диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны  Û  суммы квадратов противоположных сторон равны.

4. Натуральные числа a<b<c таковы, что b + a делится на b – a, а  c + b делится на c – b. Число a записывается 2011 цифрами, а число b записывается 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?

(Б.Френкин)

Ответ. 2012.

Решение. По условию число   2a = (b + a) – (b – a)   делится на  b – a.   Значит,  b – a £ 2a,  то есть  b £ 3a.  Аналогично,  с ≤ 3b.  Значит,  c ≤ 9a < 10a,  поэтому в записи с не более 2012 цифр (но и не меньше, так как  с > b).

5. На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через нее прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.

(Р.Женодаров)

Ответ. 25∙90°.

Решение. Можно считать, что все прямые проходят через одну точку.

Пример. Рассмотрим 5 пар взаимно перпендикулярных прямых. Тогда сумма углов любой прямой с каждой из «чужих» пар равна 90°, плюс 90° со своей прямой, итого – 5∙90°. Поэтому общая сумма углов равна 10∙5∙90°/2 (мы ведь посчитали угол между каждыми двумя прямыми два раза).

Оценка. Пусть есть 10 прямых, проходящих через одну точку. Разобьем их на пары так, чтобы при повороте по часовой стрелке от одной прямой пары до другой заметалось ровно 4 прямые. Раскрасим каждую пару в свой цвет. Рассмотрим «синюю» и «красную» пары. Красные прямые делят каждый из двух смежных углов между синими прямыми на две части, сумма четырех частей равна 180°. Части соответствуют четырем парам типа синяя-красная, наименьшие углы в таких парах не больше этих частей, поэтому сумма всех сине-красных углов не больше 180°. У нас есть 10 пар цветов, поэтому сумма разноцветных углов не больше  10∙180° = 20∙90°.  Каждый из пяти одноцветных углов тоже не больше 90°.

http://efms.ucoz.ru/sol-33-os.doc