ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ 11 класс, устный тур, 22 марта 2012 г.

---

1. Дано натуральное число, большее 4. За ход разрешается представить его в виде суммы нескольких неединичных натуральных слагаемых и заменить на их произведение. Докажите, что не более чем за 4 хода можно получить факториал какого-нибудь натурального числа.

2. В цилиндрический колодец падает пучок параллельных лучей, причём ни одна точка дна не освещена. Докажите, что граница освещённой и неосвещённой областей колодца лежит в одной плоскости.

3. В стране Флатландии двое близоруких полицейских ловят преступника. Все люди являются кругами диаметра 1 м на плоскости. Максимальная скорость полицейского равна 1 м/с, а преступник умеет двигаться со сколь угодно большой скоростью. Полицейский не видит преступника, пока не коснётся его, а как только касается — сразу ловит. Преступник всё видит. Дело происходит в круге диаметра D м, за который никто не может выйти. При каком наибольшем D полицейские могут действовать так, чтобы гарантированно поймать преступника?

4. В ряд стоят 100 коробок. В самой левой лежат 100 спичек, остальные пусты. За ход разрешается выбрать любые две соседние коробки и переложить одну спичку из левой коробки в правую, если после перекладывания в левой коробке будет не меньше спичек, чем в правой. Ходы делаются пока возможно. Докажите, что конечный результат не зависит от последовательности ходов.

5. Вписанная окружность касается сторон BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁, B₁, C₁. Вневписанная окружность касается стороны BC и продолжений сторон CA, AB в точках A₂, B₂, C₂. Через середины отрезков A₁B₁, A₂B₂ провели прямую l₁, а через середины отрезков A₁C₁, A₂С₂ провели прямую l₂. Докажите, что l₁ и l₂ пересекаются на высоте AH треугольника ABC.

6. Даны квадратные трехчлены f(x), h(x) с единичными старшими коэффициентами и некоторый многочлен g(x) ненулевой степени. Известно, что f(g(h(x))) = h(g(f(x))) для всех x. Докажите, что если графики f(x) и h(x) имеют общую точку, то они совпадают.